在数学中，复数是一种非常重要的概念，它由实部和虚部两部分组成，通常表示为 \( Z = a + bi \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部，而 \( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。

当我们需要计算一个复数的平方时，其实质就是将这个复数自身相乘。以 \( Z = a + bi \) 为例，它的平方可以表示为：

\[ Z^2 = (a + bi)^2 \]

接下来我们按照多项式乘法展开：

\[ Z^2 = (a + bi)(a + bi) \]

\[ Z^2 = a^2 + abi + abi + (bi)^2 \]

\[ Z^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 \]

由于 \( i^2 = -1 \)，所以 \( b^2i^2 = -b^2 \)。因此，上式可进一步简化为：

\[ Z^2 = a^2 - b^2 + 2abi \]

这样，我们就得到了复数平方的标准形式，即：

\[ Z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi \]

在这个结果中，\( a^2 - b^2 \) 是新的实部，而 \( 2ab \) 是新的虚部的系数。

举个简单的例子，假设 \( Z = 3 + 4i \)，那么：

\[ Z^2 = (3 + 4i)^2 \]

\[ Z^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 \]

\[ Z^2 = 9 + 24i - 16 \]

\[ Z^2 = -7 + 24i \]

因此，复数 \( 3 + 4i \) 的平方是 \( -7 + 24i \)。

通过上述步骤，我们可以清晰地看到如何对复数进行平方运算。掌握这种基本技能对于解决更复杂的复数问题至关重要。