在物理学中，转动惯量是一个描述物体围绕某一轴旋转时惯性大小的物理量。对于一个均匀的圆盘来说，其转动惯量的计算涉及到几何形状和质量分布。

假设我们有一个半径为R、质量为M的薄圆盘，并且要计算它关于通过圆心并垂直于盘面的轴的转动惯量。根据理论公式，这个值可以通过积分法来求得。

首先，将圆盘划分为无数个微小的质量元dm。每个质量元可以看作是一个小点质量，位于离转轴不同距离的位置上。由于圆盘是均匀的，因此质量密度ρ在整个圆盘内都是恒定的。我们可以表示出dm与面积dA之间的关系：dm = ρdA。

接下来，考虑如何表达dA。因为我们的目标是沿着整个圆盘进行积分，所以最自然的选择就是采用极坐标系。在这种坐标系下，面积元素dA可以写作rdrdθ，其中r是从原点（即转轴）到该点的距离，而θ则是从某个参考方向开始测量的角度。

现在，我们需要确定ρ的值。对于一个均匀圆盘而言，总质量M等于整个圆盘的面积乘以质量密度ρ。即M = πR²ρ，由此可解得ρ = M/(πR²)。

有了这些准备之后，我们现在可以写出转动惯量I的积分形式了：

\[ I = \int r^2 dm = \int_0^{2\pi} \int_0^R (\rho r^3 dr d\theta) \]

注意到积分中的ρ实际上是一个常数，因此可以直接提到积分符号外面：

\[ I = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r^3 dr \]

分别对θ和r进行积分：

\[ I = \rho (2\pi) [\frac{r^4}{4}]_0^R \]

\[ I = \rho (2\pi) \frac{R^4}{4} \]

最后代入ρ的表达式ρ = M/(πR²)，得到最终结果：

\[ I = \frac{1}{2} MR^2 \]

这就是关于通过圆心且垂直于圆盘平面的轴的转动惯量公式。这个结果表明，对于给定质量和半径的圆盘，它的转动惯性随着质量增加而增大，同时也随着半径平方的增加而显著提高。这种特性使得圆盘成为研究刚体动力学的重要模型之一。