【向量积坐标表示公式】在三维空间中，向量积（又称叉积）是两个向量之间的一种运算，结果是一个与原两个向量都垂直的向量。向量积在物理、工程和计算机图形学中有广泛应用，例如计算力矩、旋转方向等。为了方便计算，通常会使用坐标形式来表示向量积。

一、向量积的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记为 a × b，其结果是一个新的向量，满足以下性质：

- 方向：垂直于 a 和 b 所确定的平面，遵循右手定则；

- 大小：等于 absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角；

- 方向性：a × b ≠ b × a，即不满足交换律。

二、向量积的坐标表示公式

向量积的坐标表示可以通过行列式展开的方式进行计算，具体如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后可得：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

三、向量积坐标表示公式总结

四、应用示例

假设 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)

$$

五、注意事项

- 向量积仅适用于三维空间中的向量；

- 若两向量共线，则向量积为零向量；

- 计算时注意符号，尤其是 j 分量前的负号；

- 可通过行列式法或直接代入公式进行计算。

通过上述内容可以看出，向量积的坐标表示公式是向量运算中的重要工具，掌握其原理和应用对于理解三维空间中的几何关系具有重要意义。