【向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。向量垂直是指两个向量之间的夹角为90度，这种关系在数学、物理和工程中都有广泛应用。本文将总结向量垂直的基本公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、向量垂直的定义
若两个非零向量 a 和 b 满足它们的点积（内积）为零，则称这两个向量互相垂直。数学表达式如下：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
其中，“·”表示向量的点积运算。
二、向量垂直的判定方法
1. 二维向量：设向量 a = (a₁, a₂)，向量 b = (b₁, b₂)，则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
$$
2. 三维向量：设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0
$$
三、向量垂直公式的应用
| 向量类型 | 公式表达 | 说明 |
| 二维向量 | $ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0 $ | 两向量点积为零时垂直 |
| 三维向量 | $ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0 $ | 两向量点积为零时垂直 |
| 单位向量 | $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 $ | 单位向量之间垂直也满足点积为零 |
四、实际例子
- 例1：向量 a = (3, 4)，向量 b = (-4, 3)
计算点积：$ 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0 $，所以 a ⊥ b
- 例2：向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (2, -1, 0)
点积：$ 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0 $，所以 a ⊥ b
五、注意事项
- 零向量与任何向量都视为垂直，但通常不用于实际计算。
- 向量垂直与方向有关，但不依赖于长度。
- 在实际应用中，可以通过点积快速判断两个向量是否垂直，而无需计算角度。
通过以上内容可以看出，向量垂直的判断主要依赖于点积公式。掌握这一公式不仅有助于理解向量间的几何关系，还能在实际问题中提供高效的解题思路。
