【二项展开式的公式是什么】在数学中，二项式定理是一个重要的代数工具，用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式。该定理揭示了多项式展开的规律，并广泛应用于组合数学、概率论和微积分等领域。
一、二项展开式的定义
二项展开式是指将一个二项式（即两个项的和）进行幂运算后，将其展开为若干项之和的过程。其核心思想是利用组合数来表示每一项的系数。
二、二项展开式的公式
对于任意实数 $a$ 和 $b$，以及非负整数 $n$，有：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的方式数；
- $a^{n-k}$ 和 $b^k$ 分别是 $a$ 和 $b$ 的幂次；
- $k$ 从 $0$ 到 $n$ 变化，共 $n+1$ 项。
三、二项展开式的具体形式（以 $n=4$ 为例）
| 项数 | 通项公式 | 展开形式 |
| 第1项 | $\binom{4}{0}a^4b^0$ | $a^4$ |
| 第2项 | $\binom{4}{1}a^3b^1$ | $4a^3b$ |
| 第3项 | $\binom{4}{2}a^2b^2$ | $6a^2b^2$ |
| 第4项 | $\binom{4}{3}a^1b^3$ | $4ab^3$ |
| 第5项 | $\binom{4}{4}a^0b^4$ | $b^4$ |
因此，$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
四、总结
二项展开式的公式是：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
该公式通过组合数 $\binom{n}{k}$ 确定各项的系数，能够清晰地展示出 $(a + b)^n$ 展开后的所有项及其结构。它不仅在数学教学中具有重要地位，也在实际应用中发挥着重要作用，如概率计算、近似计算等。
关键词：二项展开式、二项式定理、组合数、多项式展开
